$aRb$' says a stands in relation R to b'{}”; but we must say, “That $a$' stands in a certain relation to b' says that aRb”.aRb' sagt, dass a in der Beziehung R zu b steht”, sondern: Dass ”a” in einer gewissen Beziehung zu ”b” steht, sagt, dass aRb.A” is the same sign as “A”.)A” ist dasselbe Zeichen wie ”A”.)F(fx) could be its own argument, then there would be a proposition “F(F(fx))”, and in this the outer function F and the inner function F must have different meanings; for the inner has the form \phi(fx), the outer the form \psi(\phi(fx)). Common to both functions is only the letter “F”, which by itself signifies nothing.F(F(u))” we write “(\exists\phi) : F(\phi u) . \phi u = Fu”.F (fx) könnte ihr eigenes Argument sein; dann gäbe es also einen Satz: ”F(F(fx))” und in diesem müssen die äussere Funktion F und die innere Funktion F verschiedene Bedeutungen haben, denn die innere hat die Form \phi(fx), die äussere, die Form \psi(\phi(fx)). Gemeinsam ist den beiden Funktionen nur der Buchstabe ”F”, der aber allein nichts bezeichnet.F(F(u))” schreiben ”(\exists\phi) : F(\phi u) . \phi u = Fu”.\sim{p}” (“not p”) and “p \lor q” (“p or q”).\sim{p}” (”nicht p”) und ”p \lor q” (”p oder q”) ersetzen lassen.(Buchstaben-){}Schrift kein Bild unserer Lautsprache.aRb as a picture. Here the sign is obviously a likeness of the signified.aRb” als Bild empfinden. Hier ist das Zeichen offenbar ein Gleichnis des Bezeichneten.\sharp and \flat in the score).\sharp und \flat in der Notenschrift) nicht gestört wird.Zeit-, Eigenschafts- und Bindewörter etc.; und es behandelt sie alle gleich.)(x) . fx” by putting an index before fx, like: “Gen. fx”, it would not do, we should not know what was generalized. If we tried to show it by an index g, like: “f(x_{g})” it would not do—we should not know the scope of the generalization.(G,G) . F(G,G)”, it would not do—we could not determine the identity of the variables, etc.(x) fx” ausdrücken, durch Vorsetzen eines Indexes vor ”fx” ausdrücken—etwa so: ”Alg. fx”, es würde nicht genügen—wir wüssten nicht, was verallgemeinert wurde. Wollten wir es durch einen Index ”a” anzeigen—etwa so: ”f(x_{a})”—es würde auch nicht genügen—wir wüssten nicht den Bereich der Allgemeinheitsbezeichnung.(A, A) . F (A, A)”—es würde nicht genügen—wir könnten die Identität der Variablen nicht feststellen. U.s.w.p” signifies in the true way what “\sim{p}” signifies in the false way, etc.p” auf die wahre Art bezeichnet, was ”\sim{p}” auf die falsche Art, etc.p” we mean \sim{p}, and what we mean is the case, then “p” in the new conception is true and not false.p” and “\sim{p}” can say the same thing is important, for it shows that the sign “\sim{}” corresponds to nothing in reality.\sim{\sim{p = p}}).p” and “\sim{p}” have opposite senses, but to them corresponds one and the same reality.p” und ”\sim{p}” das gleiche sagen können, ist wichtig. Denn es zeigt, dass dem Zeichen ”\sim{}” in der Wirklichkeit nichts entspricht.\sim{\sim{p}} = p).p” und ”\sim{p}” haben entgegengesetzten Sinn, aber es entspricht ihnen eine und dieselbe Wirklichkeit.p” \sim{p} meinen, und es sich so verhält wie wir es meinen, so ist ”p” in der neuen Auffassung wahr und nicht falsch.p” is true (or false) I must have determined under what conditions I call “p” true, and thereby I determine the sense of the proposition.p” ist wahr (oder falsch), muss ich bestimmt haben, unter welchen Umständen ich ”p” wahr nenne, und damit bestimme ich den Sinn des Satzes.fa” shows that in its sense the object a occurs, two propositions “fa” and “ga” that they are both about the same object.fa”, dass in seinem Sinn der Gegenstand a vorkommt, zwei Sätze ”fa” und ”ga”, dass in ihnen beiden von demselben Gegenstand die Rede ist.aRb”, \begin{array}{l} “(\exists x) : aRx . xRb\text{”,}\ “(\exists x,y) : aRx . aRy . yRb\text{”, etc.} \end{array}b stands in one of these relations to a, I call b a successor of a.)aRb”, ”(\exists x): aRx . xRb”, ”(\exists x,y): aRx . xRy . yRb”, u.s.f.b in einer dieser Beziehungen zu a, so nenne ich b einen Nachfolger von a.)x” is the proper sign of the pseudo-concept object.(\exists x,y)...”.\aleph_0 objects”. And it is senseless to speak of the number of all objects.x” das eigentliche Zeichen des Scheinbegriffes Gegenstand.(\exists x, y) ...”.\aleph_0 Gegenstände”.2 + 2 ist um 3 Uhr gleich 4.)b is a successor of a” we need for this an expression for the general term of the formal series: aRb, (\exists x) : aRx . xRb, (\exists x,y) : aRx . xRy . yRb,... The general term of a formal series can only be expressed by a variable, for the concept symbolized by “term of this formal series” is a formal concept. (This Frege and Russell overlooked; the way in which they express general propositions like the above is, therefore, false; it contains a vicious circle.)b ist ein Nachfolger von a” in der Begriffsschrift ausdrücken, so brauchen wir hierzu einen Ausdruck für das allgemeine Glied der Formenreihe: aRb, (\exists x) : aRx . xRb, (\exists x,y) : aRx . xRy . yRb,... Das allgemeine Glied einer Formenreihe kann man nur durch eine Variable ausdrücken, denn der Begriff: Glied dieser Formenreihe, ist ein formaler Begriff. (Dies haben Frege und Russell übersehen; die Art und Weise wie sie allgemeine Sätze, wie den obigen ausdrücken wollen ist daher falsch; sie enthält einen circulus vitiosus.)x, y, z).fx”, “\phi(x,y)”, etc.p, q, r.a = b” means then, that the sign “a” is replaceable by the sign “b”.b”, by determining that it shall replace a previously known sign “a”, I write the equation—definition—(like Russell) in the form “a = b Def.”. A definition is a symbolic rule.)=” setze.a = b” heisst also: das Zeichen ”a” ist durch das Zeichen ”b” ersetzbar.b” ein, indem ich bestimme, es solle ein bereits bekanntes Zeichen ”a” ersetzen, so schreibe ich die Gleichung—Definition—(wie Russell) in der Form ”a = b Def.”. Die Definition ist eine Zeichenregel.)a = b” are therefore only expedients in presentation: They assert nothing about the meaning of the signs “a” and “b”.a = b” sind also nur Behelfe der Darstellung; sie sagen nichts über die Bedeutung der Zeichen ”a”, ”b” aus.a = a”, or expressions deduced from these are neither elementary propositions nor otherwise significant signs. (This will be shown later.)a = a”, oder von diesen abgeleitete, sind weder Elementarsätze, noch sonst sinnvolle Zeichen. (Dies wird sich später zeigen.)x”, ”y”, ”z”) an.fx”, ”\phi(x,y)”, etc.p, q, r an.n atomic facts there are K_{n} = \sum\limits_{\nu = 0}^n\binom{n}{\nu} possibilities.n Sachverhalten gibt es K_{n} = \sum\limits_{\nu = 0}^n\binom{n}{\nu} Möglichkeiten.n elementary propositions.n Elementarsätzen.n elementary propositions there are \sum\limits_{\kappa = 0}^{K_n}\binom{K_n}{\kappa} = L_{n} possibilities.n Elementarsätzen gibt es \sum\limits_{\kappa = 0}^{K_n}\binom{K_n}{\kappa} = L_{n} Möglichkeiten.\sim{p}, etc., then the sense of \sim{p} would by no means be determined by Frege's determination.)\sim{p} etc. dann wäre nach Frege's Bestimmung der Sinn von ”\sim{p}” keineswegs bestimmt.)p q
T T T
F T T
T F
F F T
is a propositional sign.
(Frege's assertion sign “\vdash” is logically altogether meaningless; in Frege (and Russell) it only shows that these authors hold as true the propositions marked in this way.
“\vdash” belongs therefore to the propositions no more than does the number of the proposition. A proposition cannot possibly assert of itself that it is true.)
If the sequence of the truth-possibilities in the schema is once for all determined by a rule of combination, then the last column is by itself an expression of the truth-conditions. If we write this column as a row the propositional sign becomes: “(TT-T)(p, q)”, or more plainly: “(TTFT)(p, q)”.
(The number of places in the left-hand bracket is determined by the number of terms in the right-hand bracket.)
p q
W W W
F W W
W F
F F W
ein Satzzeichen.
(Frege's ”Urteilsstrich” ”\vdash” ist logisch ganz bedeutungslos; er zeigt bei Frege (und Russell) nur an, dass diese Autoren die so bezeichneten Sätze für wahr halten. ”\vdash” gehört daher ebenso wenig zum Satzgefüge, wie etwa die Nummer des Satzes. Ein Satz kann unmöglich von sich selbst aussagen, dass er wahr ist.)
Ist die Reihenfolge der Wahrheitsmöglichkeiten im Schema durch eine Kombinationsregel ein für allemal festgesetzt, dann ist die letzte Kolonne allein schon ein Ausdruck der Wahrheitsbedingungen. Schreiben wir diese Kolonne als Reihe hin, so wird das Satzzeichen zu:
”(WW-W)(p, q)” oder deutlicher ”(WWFW)(p, q)”.
(Die Anzahl der Stellen in der linken Klammer ist durch die Anzahl der Glieder in der rechten bestimmt.)
n elementary propositions there are L_{n} possible groups of truth-conditions.n Elementarsätze gibt es L_{n} mögliche Gruppen von Wahrheitsbedingungen.+_{c}”, for example, “c” is an index which indicates that the whole sign is the addition sign for cardinal numbers. But this way of symbolizing depends on arbitrary agreement, and one could choose a simple sign instead of “+_{c}”: but in “\sim{p}” “p” is not an index but an argument; the sense of “\sim{p}” cannot be understood, unless the sense of “p” has previously been understood. (In the name Julius Cæsar, Julius is an index. The index is always part of a description of the object to whose name we attach it, e.g. The Cæsar of the Julian gens.)+_{c}” ist z. B. ”c” ein Index, der darauf hinweist, dass das ganze Zeichen das Additionszeichen für Kardinalzahlen ist. Aber diese Bezeichnung beruht auf willkürlicher übereinkunft und man könnte statt ”+_{c}” auch ein einfaches Zeichen wählen; in ”\sim{p}” aber ist ”p” kein Index, sondern ein Argument: der Sinn von ”\sim{p}” kann nicht verstanden werden, ohne dass vorher der Sinn von ”p” verstanden worden wäre. (Im Namen Julius Cäsar ist ”Julius” ein Index. Der Index ist immer ein Teil einer Beschreibung des Gegenstandes, dessen Namen wir ihn anhängen. Z. B. Der Cäsar aus dem Geschlechte der Julier.)(TTTT)(p, q) |
Tautology (if p then p, and if q then q) |
(p \supset p . q \supset q) |
(FTTT)(p, q) |
in words: Not both p and q. |
(\sim{(p . q)}) |
(TFTT)(p, q) |
" " If q then p. |
(q \supset p) |
(TTFT)(p, q) |
" " If p then q. |
(p \supset q) |
(TTTF)(p, q) |
" " p or q. |
(p \lor q) |
(FFTT)(p, q) |
" " Not q. |
(\sim{q}) |
(FTFT)(p, q) |
" " Not p. |
(\sim{p}) |
(FTTF)(p, q) |
" " p or q, but not both. |
(p . \sim{q} : \lor : q . \sim{p}) |
(TFFT)(p, q) |
" " If p, then q; and if q, then p. |
(p \equiv q) |
(TFTF)(p, q) |
" " p |
|
(TTFF)(p, q) |
" " q |
|
(FFFT)(p, q) |
" " Neither p nor q. |
(\sim{p} . \sim{q}) or (p \mid q) |
(FFTF)(p, q) |
" " p and not q. |
(p . \sim{q}) |
(FTFF)(p, q) |
" " q and not p. |
(q . \sim{p}) |
(TFFF)(p, q) |
" " p and q. |
(p . q) |
(FFFF)(p, q) |
Contradiction (p and not p; and q and not q.) |
(p . \sim{p} . q . \sim{q}) |
Those truth-possibilities of its truth-arguments, which verify the proposition, I shall call its truth-grounds.
(WWWW)(p, q) Tautologie (Wenn p, so p; und wenn q, so q.)
(p \supset p . q \supset q)
(FWWW)(p, q) in Worten: Nicht beides p und q. (\sim{(p . q)})
(WFWW)(p, q) " " Wenn q, so p. (q \supset p)
(WWFW)(p, q) " " Wenn p, so q. (p \supset q)
(WWWF)(p, q) " " p oder q. (p \lor q)
(FFWW)(p, q) " " Nicht q. (\sim{q})
(FWFW)(p, q) " " Nicht p. (\sim{p})
(FWWF)(p, q) " " p, oder q, aber nicht beide.
(p . \sim{q} : \lor : q . \sim{p})
(WFFW)(p, q) " " Wenn p, so q; und wenn q, so p.
(p \equiv q)
(WFWF)(p, q) " " p
(WWFF)(p, q) " " q
(FFFW)(p, q) " " Weder p noch q.
(\sim{p} . \sim{q}) oder (p \mid q)
(FFWF)(p, q) " " p und nicht q. (p . \sim{q})
(FWFF)(p, q) " " q und nicht p. (q . \sim{p})
(WFFF)(p, q) " " q und p. (q . p)
(FFFF)(p, q) Kontradiktion (p und nicht p; und q und nicht q.)
(p . \sim{p} . q . \sim{q})
Diejenigen Wahrheitsmöglichkeiten seiner Wahrheitsargumente, welche den Satz bewahrheiten, will ich seine Wahrheitsgründe nennen.
p follows from that of a proposition q, if all the truth-grounds of the second are truth-grounds of the first.q are contained in those of p; p follows from q.p folgt aus q.p follows from q, the sense of “p” is contained in that of “q”.p aus q, so ist der Sinn von ”p” im Sinne von ”q” enthalten.p” is true without creating all its objects.p” wahr ist, ohne seine sämtlichen Gegenstände zu schaffen.p . q” is one of the propositions which assert “p” and at the same time one of the propositions which assert “q”.p . q” ist einer der Sätze, welche ”p” bejahen und zugleich einer der Sätze, welche ”q” bejahen.p” aus der Wahrheit eines anderen ”q”, wenn alle Wahrheitsgründe des zweiten Wahrheitsgründe des ersten sind.p \lor q and \sim{p} to q the relation between the forms of the propositions “p \lor q” and “\sim{p}” is here concealed by the method of symbolizing. But if we write, e.g. instead of “p \lor q” “p \mid q . \mid . p \mid q” and instead of “\sim{p}” “p \mid p” (p \mid q = neither p nor q), then the inner connexion becomes obvious.fa from (x) . fx shows that generality is present also in the symbol “(x) . fx”.p \lor q und \sim{p} auf q schliessen, so ist hier durch die Bezeichnungsweise die Beziehung der Satzformen von ”p \lor q” und ”\sim{p}” verhüllt. Schreiben wir aber z. B. statt ”p \lor q” ”p \mid q . \mid . p \mid q” und statt ”\sim{p}” ”p \mid p” (p \mid q = weder p, noch q), so wird der innere Zusammenhang offenbar.(x) . fx auf fa schliessen kann, das zeigt, dass die Allgemeinheit auch im Symbol ”(x) . fx” vorhanden ist.)p follows from q, I can conclude from q to p; infer p from q.p aus q, so kann ich von q auf p schliessen; p aus q folgern.p is the case” is senseless if p is a tautology.)p der Fall ist” ist sinnlos, wenn p eine Tautologie ist.)p follows from q and q from p then they are one and the same proposition.p aus q und q aus p, so sind sie ein und derselbe Satz.T_{r} is the number of the truth-grounds of the proposition “r”, T_{rs} the number of those truth-grounds of the proposition “s” which are at the same time truth-grounds of “r”, then we call the ratio T_{rs} : T_{r} the measure of the probability which the proposition “r” gives to the proposition “s”.T_{r} is the number of the “T”'s in the proposition r, T_{rs} the number of those “T”'s in the proposition s, which stand in the same columns as “T”'s of the proposition r; then the proposition r gives to the proposition s the probability T_{rs} : T_{r}.W_{r} die Anzahl der ”W” im Satze r; W_{rs} die Anzahl derjenigen ”W” im Satze s, die in gleichen Kolonnen mit ”W” des Satzes r stehen. Der Satz r gibt dann dem Satze s die Wahrscheinlichkeit: W_{rs} : W_{r}.\frac{1}{2}.p follows from q, the proposition q gives to the proposition p the probability 1. The certainty of logical conclusion is a limiting case of probability.\frac{1}{2}.p aus q, so gibt der Satz ”q” dem Satz ”p” die Wahrscheinlichkeit 1. Die Gewissheit des logischen Schlusses ist ein Grenzfall der Wahrscheinlichkeit.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.W_{r} die Anzahl der Wahrheitsgründe des Satzes ”r”, W_{rs} die Anzahl derjenigen Wahrheitsgründe des Satzes ”s”, die zugleich Wahrheitsgründe von ”r” sind, dann nennen wir das Verhältnis: W_{rs} : W_{r} das Mass der Wahrscheinlichkeit, welche der Satz ”r” dem Satz ”s” gibt.p is a function of the sense of p.p ist eine Funktion des Sinnes von p.q” from “p”, makes “r” from “q”, and so on. This can only be expressed by the fact that “p”, “q”, “r”, etc., are variables which give general expression to certain formal relations.q” aus ”p” macht, macht aus ”q” ”r” u.s.f. Dies kann nur darin ausgedrückt sein, dass ”p”, ”q”, ”r”, etc. Variable sind, die gewisse formale Relationen allgemein zum Ausdruck bringen.O' O' O' a” is the result of the threefold successive application of “O' \xi” to “a”).O' O' O' a” ist das Resultat der dreimaligen successiven Anwendung von ”O' \xi” auf ”a”).a, O' a, O' O' a,;....\ I write thus: “[a, x, O' x]”. This expression in brackets is a variable. The first term of the expression is the beginning of the formal series, the second the form of an arbitrary term x of the series, and the third the form of that term of the series which immediately follows x.a, O' a, O' O' a, .... schreibe ich daher so: ”[a, x, O' x]”. Dieser Klammerausdruck ist eine Variable. Das erste Glied des Klammerausdruckes ist der Anfang der Formenreihe, das zweite die Form eines beliebigen Gliedes x der Reihe und das dritte die Form desjenigen Gliedes der Reihe, welches auf x unmittelbar folgt.\sim{\sim{p}}” \sim{\sim{p}} = p).\sim{\sim{p}}” \sim{\sim{p}} = p).p”, “q”, “r”, etc. are not elementary propositions.p” and “q” are truth-functions of elementary propositions.p”, ”q”, ”r”, etc. nicht Elementarsätze sind.p” und ”q” Wahrheitsfunktionen von Elementarsätzen sind, Eine Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen ausdrückt.\lor, \supset, etc., are not relations in the sense of right and left, etc., is obvious.\supset” which we define by means of “\sim{}” and “\lor” is identical with that by which we define “\lor” with the help of “\sim{}”, and that this “\lor” is the same as the first, and so on.\lor, \supset, etc. nicht Beziehungen im Sinne von rechts und links etc. sind, leuchtet ein.\supset”, welches wir durch ”\sim{}” und ”\lor” definieren, identisch ist mit dem, durch welches wir ”\lor” mit ”\sim{}” definieren und dass dieses ”\lor” mit dem ersten identisch ist. U.s.w.p an infinite number of others should follow, namely \sim{\sim{p}}, \sim{\sim{\sim{\sim{p}}}}, etc., is indeed hardly to be believed, and it is no less wonderful that the infinite number of propositions of logic (of mathematics) should follow from half a dozen “primitive propositions”.p unendlich viele andere folgen sollten, nämlich \sim{\sim{p}}, \sim{\sim{\sim{\sim{p}}}}, etc., ist doch von vornherein kaum zu glauben. Und nicht weniger merkwürdig ist, dass die unendliche Anzahl der Sätze der Logik (der Mathematik) aus einem halben Dutzend ”Grundgesetzen” folgen.\sim{\sim{p}}” deny \sim{p}, or does it affirm p; or both?\sim{\sim{p}}” does not treat of denial as an object, but the possibility of denial is already prejudged in affirmation.\sim{}”, then “\sim{\sim{p}}” would have to say something other than “p”. For the one proposition would then treat of \sim{}, the other would not.\sim{(\exists x) . \sim{fx}}” says the same as “(x) . fx”, or “(\exists x) . fx . x = a” the same as “fa”.\sim{(\exists x) . \sim{fx}}” dasselbe sagt wie ”(x) . fx”, oder ”(\exists x) . fx . x = a” dasselbe wie ”fa”.\sim{\sim{p}}” \sim{p}, oder bejaht es p; oder beides?\sim{\sim{p}}” handelt nicht von der Verneinung wie von einem Gegenstand; wohl aber ist die Möglichkeit der Verneinung in der Bejahung bereits präjudiziert.\sim{}” hiesse, so müsste ”\sim{\sim{p}}” etwas anderes sagen als ”p”. Denn der eine Satz würde dann eben von \sim{} handeln, der andere nicht.\sim{p}”, just as in propositions like “\sim{(p \lor q)}”, “(\exists x) . \sim{fx}” and others. We may not first introduce it for one class of cases and then for another, for it would then remain doubtful whether its meaning in the two cases was the same, and there would be no reason to use the same way of symbolizing in the two cases.\sim{p}” ebenso verstehen, wie in Sätzen wie ”\sim{(p \lor q)}”, ”(\exists x) . \sim{fx}”~\undAndere\ Wir dürfen sie nicht erst für die eine Klasse von Fällen, dann für die andere einführen, denn es bliebe dann zweifelhaft, ob ihre Bedeutung in beiden Fällen die gleiche wäre und es wäre kein Grund vorhanden, in beiden Fällen dieselbe Art der Zeichenverbindung zu benützen.p \lor q” but also “\sim{(p \lor \sim{q})}”, etc. etc. We should then already have introduced the effect of all possible combinations of brackets; and it would then have become clear that the proper general primitive signs are not “p \lor q”, “(\exists x) . fx”, etc., but the most general form of their combinations.\lor and \supset need brackets—unlike real relations is of great importance.\lor und \supset, der Klammern bedürfen—im Gegensatz zu den wirklichen Beziehungen.p \lor q” sondern auch schon ”\sim{(p \lor \sim{q})}” etc. etc. Man hätte damit auch schon die Wirkung aller nur möglichen Kombinationen von Klammern eingeführt. Und damit wäre es klar geworden, dass die eigentlichen allgemeinen Urzeichen nicht die ”p \lor q”, ”(\exists x) . fx”, etc. sind, sondern die allgemeinste Form ihrer Kombinationen.fa” says the same as “(\exists x) . fx . x = a”.fa” sagt dasselbe wie ”(\exists x) . fx . x = a”.(- - - - -T)(\xi, ....) to elementary propositions.\overline{\xi})”. “\xi” is a variable whose values are the terms of the expression in brackets, and the line over the variable indicates that it stands for all its values in the bracket.\xi has the 3 values P, Q, R, then (\overline{\xi}) = (P, Q, R).)fx, whose values for all values of x are the propositions to be described. 3. Giving a formal law, according to which those propositions are constructed. In this case the terms of the expression in brackets are all the terms of a formal series.(\overline{\xi})” an. ”\xi” ist eine Variable, deren Werte die Glieder des Klammerausdruckes sind; und der Strich über der Variablen deutet an, dass sie ihre sämtlichen Werte in der Klammer vertritt.\xi etwa die 3 Werte P, Q, R, so ist (\overline{\xi}) = (P, Q, R).)fx, deren Werte für alle Werte von x die zu beschreibenden Sätze sind. 3. Die Angabe eines formalen Gesetzes, nach welchem jene Sätze gebildet sind. In diesem Falle sind die Glieder des Klammerausdrucks sämtliche Glieder einer Formenreihe.“(- - - - -T)(\xi, ....)”, “N(\overline{\xi})”.N(\overline{\xi}) is the negation of all the values of the propositional variable \xi.”(- - - - -W)(\xi, ....)” ”N(\overline{\xi})”.N(\overline{\xi}) ist die Negation sämtlicher Werte der Satzvariablen \xi.\xi has only one value, then N(\overline{\xi}) = \sim{p} (not p), if it has two values then N(\overline{\xi}) = \sim{p} . \sim{q} (neither p nor q).\sim{p}” is true if “p” is false. Therefore in the true proposition “\sim{p}” “p” is a false proposition. How then can the stroke “\sim{}” bring it into agreement with reality?\sim{p}” is however not “\sim{}”, but that which all signs of this notation, which deny p, have in common.\sim{p}”, “\sim{\sim{\sim{p}}}”, “{\sim{p}} \lor {\sim{p}}”, “\sim{p} . \sim{p}”, etc. etc. (to infinity) are constructed. And this which is common to them all mirrors denial.\sim{p}” ist wahr, wenn ”p” falsch ist. Also in dem wahren Satz ”\sim{p}” ist ”p” ein falscher Satz. Wie kann ihn nun der Strich ”\sim{}” mit der Wirklichkeit zum Stimmen bringen?\sim{p}” verneint, ist aber nicht das ”\sim{}”, sondern dasjenige, was allen Zeichen dieser Notation, welche p verneinen, gemeinsam ist.\sim{p}”, ”\sim{\sim{\sim{p}}}”, ”\sim{p} \lor \sim{p}”, ”\sim{p} . \sim{p}”, etc. etc. (ad inf.) gebildet werden. Und dies Gemeinsame spiegelt die Verneinung wider.p and q, is the proposition “p . q”. What is common to all symbols, which assert either p or q, is the proposition “p \lor q”.{q : p} \lor {\sim{p}}” says the same as “q”; that “p \lor {\sim{p}}” says nothing.p als q bejahen, ist der Satz ”p . q”. Das Gemeinsame aller Symbole, die entweder p oder q bejahen, ist der Satz ”p \lor q”.q : p \lor \sim{p}” dasselbe sagt wie ”q”; dass ”p \lor \sim{p}” nichts sagt.p are constructed, a rule according to which all the propositions asserting p are constructed, a rule according to which all the propositions asserting p or q are constructed, and so on. These rules are equivalent to the symbols and in them their sense is mirrored.p verneinenden Sätze gebildet werden, eine Regel, nach der alle p bejahenden Sätze gebildet werden, eine Regel, nach der alle p oder q bejahenden Sätze gebildet werden, u.s.f. Diese Regeln sind den Symbolen äquivalent und in ihnen spiegelt sich ihr Sinn wider.\lor”, “.”, etc., must be propositions.p” and “q” presuppose “\lor”, “\sim{}”, etc. If the sign “p” in “p \lor q” does not stand for a complex sign, then by itself it cannot have sense; but then also the signs “p \lor p”, “p . p”, etc. which have the same sense as “p” have no sense. If, however, “p \lor p” has no sense, then also “p \lor q” can have no sense.a” does not stand in a certain relation to “b”, it could express that aRb is not the case.)a” nicht in einer bestimmten Beziehung zu ”b” steht, könnte das ausdrücken, dass aRb nicht der Fall ist.)\lor”, ”.”, etc. miteinander verbunden ist, Sätze sein müssen.p” und ”q” setzt ja selbst das ”\lor”, ”\sim{}”, etc. voraus. Wenn das Zeichen ”p” in ”p \lor q” nicht für ein komplexes Zeichen steht, dann kann es allein nicht Sinn haben; dann können aber auch die mit ”p” gleichsinnigen Zeichen ”p \lor p”, ”p . p”, etc. keinen Sinn haben. Wenn aber ”p \lor p” keinen Sinn hat, dann kann auch ”p \lor q” keinen Sinn haben.\xi nur einen Wert, so ist N(\overline{\xi}) = \sim{p} (nicht p), hat es zwei Werte, so ist N(\overline{\xi}) = \sim{p} . \sim{q} (weder p noch q).\xi are the total values of a function fx for all values of x, then N(\overline{\xi}) = \sim{(\exists x) . fx}.(\exists x) . fx” and “(x) . fx” in which both ideas lie concealed.(\exists x) . fx” und ”(x) . fx”, in welchen beide Ideen beschlossen liegen, zu verstehen.(\exists x) . fx”—as Russell does—in words “fx is possible”.(\exists x) . fx”—wie Russell dies tut—in Worten durch ”fx ist möglich” wiederzugeben.x, which ....”: and this x is a.(\exists x, \phi) . \phi x” we must mention “\phi” and “x” separately. Both stand independently in signifying relations to the world as in the ungeneralized proposition.)(\exists x, \phi) . \phi x” ”\phi” und ”x” getrennt erwähnen müssen. Beide stehen unabhängig in bezeichnenden Beziehungen zur Welt, wie im unverallgemeinerten Satz.)x, welches~....” sagen: Und dies x ist a.\xi sämtliche Werte einer Funktion fx für alle Werte von x, so wird N(\overline{\xi}) = \sim{(\exists x) . fx}.(x) : fx . \supset . x = a”. What this proposition says is simply that only a satisfies the function f, and not that only such things satisfy the function f which have a certain relation to a.a has this relation to a, but in order to express this we should need the sign of identity itself.(x) : fx . \supset . x = a” betrachtet. Was dieser Satz sagt, ist einfach, dass nur a der Funktion f genügt, und nicht, dass nur solche Dinge der Funktion f genügen, welche eine gewisse Beziehung zu a haben.a diese Beziehung zu a habe, aber um dies auszudrücken, brauchten wir das Gleichheitszeichen selber.=” genügt nicht; weil man nach ihr nicht sagen kann, dass zwei Gegenstände alle Eigenschaften gemeinsam haben. (Selbst wenn dieser Satz nie richtig ist, hat er doch Sinn.)f(a,b) . a = b”, but “f(a,a)” (or “f(b,b)”). And not “f(a,b) . \sim{a} = b”, but “f(a,b)”.f(a,b) . a = b”, sondern ”f(a,a)” (oder ”f(b,b)”). Und nicht ”f(a,b) . \sim{a = b}”, sondern ”f(a,b)”.(\exists x,y) . f(x,y) . x = y”, but “(\exists x) . f(x,x)”; and not “(\exists x,y) . f(x,y) . \sim{x} = y”, but “(\exists x,y) . f(x,y)”.(\exists x,y) . f(x,y)”: “(\exists x,y) . f(x,y) . \lor . (\exists x) . f(x,x)”.)(x) : fx \supset x = a” we therefore write e.g. “(\exists x) . fx . \supset . fa : \sim{(\exists x,y) . fx . fy}”.x satisfies f()” reads: “(\exists x) . fx : \sim{(\exists x,y) . fx . fy}”.(x) : fx \supset x = a” schreiben wir also z. B. ”(\exists x) . fx . \supset . fa : \sim{(\exists x,y) . fx . fy}”.x befriedigt f()” lautet: ”(\exists x) . fx : \sim{(\exists x,y) . fx . fy}”.(\exists x,y) . f(x,y) . x = y”, sondern ”(\exists x) . f(x,x)”; und nicht ”(\exists x,y) . f(x,y) . \sim{x = y}”, sondern ”(\exists x,y) . f(x,y)”.(\exists x,y) . f(x,y)”: ”(\exists x,y) . f(x,y) . \lor . (\exists x) . f(x,x)”.)a = a”, “a = b . b = c . \supset a = c”, “(x) . x = x”, “(\exists x) . x = a”, etc. cannot be written in a correct logical notation at all.a = a”, ”a = b . b = c . \supset a = c”, ”(x) . x = x”, ”(\exists x) . x = a”, etc. sich in einer richtigen Begriffsschrift gar nicht hinschreiben lassen.a = a” or “p \supset p” and of that kind. And indeed this takes place when one would like to speak of the archetype Proposition, Thing, etc. So Russell in the Principles of Mathematics has rendered the nonsense “p is a proposition” in symbols by “p \supset p” and has put it as hypothesis before certain propositions to show that their places for arguments could only be occupied by propositions.p \supset p before a proposition in order to ensure that its arguments have the right form, because the hypothesis for a non-proposition as argument becomes not false but meaningless, and because the proposition itself becomes senseless for arguments of the wrong kind, and therefore it survives the wrong arguments no better and no worse than the senseless hypothesis attached for this purpose.)a = a” oder ”p \supset p” u. dgl. zu benützen. Und zwar geschieht dies, wenn man von dem Urbild: Satz, Ding, etc. reden möchte. So hat Russell in den ”Principles of Mathematics” den Unsinn ”p ist ein Satz” in Symbolen durch ”p \supset p” wiedergegeben und als Hypothese vor gewisse Sätze gestellt, damit deren Argumentstellen nur von Sätzen besetzt werden könnten.p \supset p vor einen Satz zu stellen, um ihm Argumente der richtigen Form zu sichern, weil die Hypothese für einen Nicht-Satz als Argument nicht falsch, sondern unsinnig wird, und weil der Satz selbst durch die unrichtige Gattung von Argumenten unsinnig wird, also sich selbst ebenso gut, oder so schlecht, vor den unrechten Argumenten bewahrt, wie die zu diesem Zweck angehängte sinnlose Hypothese.)\sim{(\exists x) . x = x}”. But even if this were a proposition—would it not be true if indeed “There were things”, but these were not identical with themselves?\sim{(\exists x) . x = x}”. Aber selbst wenn dies ein Satz wäre,—wäre er nicht auch wahr, wenn es zwar ”Dinge gäbe”, aber diese nicht mit sich selbst identisch wären?p is the case”, or “A thinks p”, etc.p stood to the object A in a kind of relation.p der Fall ist”, oder ”A denkt p”, etc.p zu einem Gegenstand A in einer Art von Relation.p”, “A thinks p”, “A says p”, are of the form “`p' says p”: and here we have no co-ordination of a fact and an object, but a co-ordination of facts by means of a co-ordination of their objects.p” must show that it is impossible to judge a nonsense. (Russell's theory does not satisfy this condition.)p” muss zeigen, dass es unmöglich ist, einen Unsinn zu urteilen. (Russells Theorie genügt dieser Bedingung nicht.)This perhaps explains that the figure [Image: cube] can be seen in two ways as a cube; and all similar phenomena. For we really see two different facts.
(If I fix my eyes first on the corners a and only glance at b, a appears in front and b behind, and vice versa.)
Dies erklärt wohl auch, dass man die Figur [Image: cube] auf zweierlei Art als Würfel sehen kann; und alle ähnlichen Erscheinungen. Denn wir sehen eben wirklich zwei verschiedene Tatsachen.
(Sehe ich erst auf die Ecken a und nur flüchtig auf b, so erscheint a vorne; und umgekehrt.)
p”, ”A denkt p”, ”A sagt p” von der Form ”'p' sagt p” sind: Und hier handelt es sich nicht um eine Zuordnung von einer Tatsache und einem Gegenstand, sondern um die Zuordnung von Tatsachen durch Zuordnung ihrer Gegenstände.(- - - - -W)(\xi, ....) auf Elementarsätze.[\overline{p}, \overline{\xi}, N(\overline{\xi})].N'(\overline{\xi}) to the elementary propositions.N'(\overline{\xi}) auf die Elementarsätze ist.\Omega'(\overline{\eta}) is therefore: [\overline{\xi}, N(\overline{\xi})]' (\overline{\eta}) (= [\overline{\eta}, \overline{\xi}, N(\overline{\xi})]).\Omega'(\overline{\eta}) ist also: [\overline{\xi}, N(\overline{\xi})]' (\overline{\eta}) (=~[\overline{\eta}, \overline{\xi}, N(\overline{\xi})]).x = \Omega^{0}{}' x \text{ Def. }\Omega'\Omega^{\nu}{}'x = \Omega^{\nu+1}{}'x \text{ Def.}x, \Omega'x, \Omega'\Omega'x, \Omega'\Omega'\Omega'x.....\Omega^{0}{}'x, \Omega^{0+1}{}'x, \Omega^{0+1+1}{}'x, \Omega^{0+1+1+1}{}'x .....[x, \xi, \Omega'\xi]”,[\Omega^{0}{}'x, \Omega^{\nu}{}'x, \Omega^{\nu+1}{}'x]\text{”.}0 + 1 = 1\text{ Def.}0 + 1 + 1 = 2\text{ Def.}0 + 1 + 1 + 1 = 3\text{ Def.}x = \Omega^{0}{}' x \text{ Def. }\Omega'\Omega^{\nu}{}'x = \Omega^{\nu+1}{}'x \text{ Def.}x, \Omega'x, \Omega'\Omega'x, \Omega'\Omega'\Omega'x.....\Omega^{0}{}'x, \Omega^{0+1}{}'x, \Omega^{0+1+1}{}'x, \Omega^{0+1+1+1}{}'x .....[x, \xi, \Omega'\xi]”,[\Omega^{0}{}'x, \Omega^{\nu}{}'x, \Omega^{\nu+1}{}'x]\text{”.}0 + 1 = 1\text{ Def.}0 + 1 + 1 = 2\text{ Def.}0 + 1 + 1 + 1 = 3\text{ Def.}[0, \xi, \xi + 1].[0, \xi, \xi + 1].p” and “\sim{p}” in the connexion “\sim{(p . \sim{p})}” give a tautology shows that they contradict one another. That the propositions “p \supset q”, “p” and “q” connected together in the form “(p \supset q) . (p) : \supset : (q)” give a tautology shows that q follows from p and p \supset q. That “(x) . fx : \supset : fa” is a tautology shows that fa follows from (x) . fx, etc. etc.p” und ”\sim{p}” in der Verbindung ”\sim{(p . \sim{p})}” eine Tautologie ergeben, zeigt, dass sie einander widersprechen. Dass die Sätze ”p \supset q”, ”p” und ”q” in der Form ”(p \supset q) . (p) : \supset : (q)” miteinander verbunden eine Tautologie ergeben, zeigt, dass q aus p und p \supset q folgt. Dass ”(x) . fx : \supset : fa” eine Tautologie ist, dass fa aus (x) . fx folgt.{} etc. etc.p”, “q”, “r”, etc., “TpF”, “TqF”, “TrF”, etc. The truth-combinations I express by brackets, e.g.: [Image: brackets01-en] and the co-ordination of the truth or falsity of the whole proposition with the truth-combinations of the truth-arguments by lines in the following way: [Image: brackets02-en]This sign, for example, would therefore present the proposition p \supset q. Now I will proceed to inquire whether such a proposition as \sim{(p . \sim{p})} (The Law of Contradiction) is a tautology. The form “\sim{\xi}” is written in our notation [Image: brackets03-en] the form “\xi . \eta” thus:— [Image: brackets04-en]
Hence the proposition \sim{(p . \sim{q})} runs thus:— [Image: brackets05-en]
If here we put “p” instead of “q” and examine the combination of the outermost T and F with the innermost, it is seen that the truth of the whole proposition is co-ordinated with all the truth-combinations of its argument, its falsity with none of the truth-combinations.
p”, ”q”, ”r” etc. ”WpF”, ”WqF”, ”WrF” etc. Die Wahrheitskombinationen drücke ich durch Klammern aus. z. B.: [Image: brackets01-de] und die Zuordnung der Wahr- oder Falschheit des ganzen Satzes und der Wahrheitskombinationen der Wahrheitsargumente durch Striche auf folgende Weise: [Image: brackets02-de] Dies Zeichen würde also z. B. den Satz p \supset q darstellen. Nun will ich z. B. den Satz \sim{(p . \sim{p})} (Gesetz des Widerspruchs) daraufhin untersuchen, ob er eine Tautologie ist. Die Form ”\sim{\xi}” wird in unserer Notation [Image: brackets03-de] geschrieben; die Form ”\xi . \eta” so: [Image: brackets04-de] Daher lautet der Satz \sim{(p . \sim{q})} so: [Image: brackets05-de] Setzen wir hier statt ”q” ”p” ein und untersuchen die Verbindung der äussersten W und F mit den innersten, so ergibt sich, dass die Wahrheit des ganzen Satzes allen Wahrheitskombinationen seines Argumentes, seine Falschheit keiner der Wahrheitskombinationen zugeordnet ist.p” and “q” give a tautology in the connexion “p \supset q”, then it is clear that q follows from p.q” follows from “p \supset q . p” we see from these two propositions themselves, but we can also show it by combining them to “p \supset q . p : \supset : q” and then showing that this is a tautology.p” und ”q” in der Verbindung ”p \supset q” eine Tautologie, so ist klar, dass q aus p folgt.q” aus ”p \supset q . p” folgt, ersehen wir aus diesen beiden Sätzen selbst, aber wir können es auch so zeigen, indem wir sie zu ”p \supset q . p : \supset : q” verbinden und nun zeigen, dass dies eine Tautologie ist.1 + 1 + 1 + 1” that it can be conceived as “(1 + 1) + (1 + 1)”.1 + 1 + 1 + 1”, dass man es als ”(1 + 1) + (1 + 1)” auffassen kann.2 \times 2 = 4 runs:(\Omega^{\nu})^{\mu}{}'x = \Omega^{\nu \times \mu}{}'x \text{ Def.}\Omega^{2 \times 2}{}'x = (\Omega^{2})^{2}{}'x = (\Omega^{2})^{1 + 1}{}'x = \Omega^{2}{}'\Omega^{2}{}'x = \Omega^{1 + 1}{}'\Omega^{1 + 1}{}'x= (\Omega'\Omega)'(\Omega'\Omega)'x = \Omega'\Omega'\Omega'\Omega'x = \Omega^{1 + 1 + 1 + 1}{}'x = \Omega^{4}{}'x.2 \times 2 = 4:(\Omega^{\nu})^{\mu}{}'x = \Omega^{\nu \times \mu}{}'x \text{ Def.}\Omega^{2 \times 2}{}'x = (\Omega^{2})^{2}{}'x = (\Omega^{2})^{1 + 1}{}'x = \Omega^{2}{}'\Omega^{2}{}'x = \Omega^{1 + 1}{}'\Omega^{1 + 1}{}'x= (\Omega'\Omega)'(\Omega'\Omega)'x = \Omega'\Omega'\Omega'\Omega'x = \Omega^{1 + 1 + 1 + 1}{}'x = \Omega^{4}{}'x.a and b cannot be made to cover one another without moving them out of this space. The right and left hand are in fact completely congruent. And the fact that they cannot be made to cover one another has nothing to do with it. [Image: space]A right-hand glove could be put on a left hand if it could be turned round in four-dimensional space.
a und b auch nicht zur Deckung gebracht werden können, ohne aus diesem Raum herausbewegt zu werden. Rechte und linke Hand sind tatsächlich vollkommen kongruent. Und dass man sie nicht zur Deckung bringen kann, hat damit nichts zu tun.[Image: space] Den rechten Handschuh könnte man an die linke Hand ziehen, wenn man ihn im vierdimensionalen Raum umdrehen könnte.
....” ist: Und was dann, wenn ich es nicht tue? Es ist aber klar, dass die Ethik nichts mit Strafe und Lohn im gewöhnlichen Sinne zu tun hat. Also muss diese Frage nach den Folgen einer Handlung belanglos sein.—Zum Mindesten dürfen diese Folgen nicht Ereignisse sein. Denn etwas muss doch an jener Fragestellung richtig sein. Es muss zwar eine Art von ethischem Lohn und ethischer Strafe geben, aber diese müssen in der Handlung selbst liegen.[\overline{p}, \overline{\xi}, N(\overline{\xi})].